Rezonance

Úvod

Lineární rezonance

Soustava period T_i rezonuje, jestliže existují taková celá čísla a(i), že platí:

kde i=1..n, α je nějaké malé číslo.  Hodnota 1/α je perioda:  T = (T₁/a₁,T₂/a₂,T₃/a₃,...) = 1/(a₁/T₁+a₂/T₂+a₃/T₃...) = 1/α

Např. pro periody J=11.862 a S=29.457 let při a1=2, a2=-5 dostaneme: α = 2/J -5/S =  0.001133, tj. T =1/α = (J/2,S/5) = 883 let.

Řád rezonance

Řádem lineární rezonance se obvykle rozumí číslo:

Tedy např. poměr 2:1 je řádu 3, 3:2 řádu 5 a 4:3 řádu 7.  Tato definice řádu rezonance je jednoduchá, slouží spíše jen pro orientaci.

K posouzení kvality resonance nestačí (viz porovnání s hudbou – kvalita hudebních intervalů apod.)

Rezonance a hudební teorie

Zatímco hudba postrádá gravitační zákon  (vazba citlivých tónů je ale obdobou gravitační vazby …), předchází výzkum hudebních jednoduchých poměrů  (konsonantních intervalů a soustav ladění,…)  astronomii  o kus cesty. V hudebních rezonancích mají zvláštní význam násobky čísla 2 (oktávová identita).   Vylaďováním učitých poměrů se jiné rozlaďují  (ladění je vždy určitý kompromis). Hudba je střídáním stabilních (rezonančních) a nestabilních (dočasných, chaotických) útvarů. Hudební systémy (např. 12-ti tónový) jsou postaveny tak, aby stabilní útvary mohly vznikat.

Typy rezonancí podle period

Nechť P je označení planety nebo planetky a M měsíce; P, M jsou orbitální periody, Pr, Mr rotační periody.

Podle kombinace P,Pr,M a Mr rozlišíme 10 typů rezonancí:

Ø  P-P  Jupiter-Saturn, Neptun-Pluto, Země-Ivar, Země-Toro, Venuše-Toro, Jupiter-asteroidy (Trojané, Tule, Hilda)

Ø  P-Pr  Merkur, složené rezonance Merkur-Venuše, Venuše-Země

Ø  M-M Enceladus-Dione, Titan-Hyperion, Mimas-Tethys, Io-Europa-Ganymed, Miranda-Ariel-Umbriel

Ø  M-Mr  Měsíc

Ø  P-M  Jupiter-VIII, Jupiter-IX, Jupiter-XI, Saturn-Phoebe

Ø  Pr-M   Pluto-Charon ?,  Asteroid Ida-jeho měsíc Daktyl

Ø  Pr-Mr,  Země-Měsíc v minulosti (?)

Ø  P-Mr, Pr-Pr, Mr-Mr  ?

Nelineární rezonance

Nelineární rezonance závisí nejen na periodách, ale také na amplitudách dílčích pohybů.

Rezonance oběžných dob

Rezonance oběžných dob

Nejjednodušším případem rezonance je celočíselný poměr dvou oběžných period:

Triviálním případem rezonance tohoto typu je rezonance 1:1, např.:

• vázaná rotace měsíců planet (náš Měsíc, galileovské měsíce Jupitera, ...)

·         pohyb těles v Lagrangeových bodech (Jupiter-Trojané, Dione-Helene, ..)

Pozorované poměry oběžných dob rozdělíme podle typů uspořádání:

Nejlehčí těleso uvnitř:

·         2/1: Ganymedes/Europa, Tethys/Mimas, Dione/Enceladus

·         4/1: Země/Merkur, Ganymed/Io

Nejlehčí těleso vně:

·         2/1: Europa/Io

·         3/1: Uran/Saturn, 3/2: Pluto/Neptune

·         4/1: Deimos/Phobos, 4/3: Hyperion/Titan

·         5/1: Iapetus/Titan, 5/2: Saturn/Jupiter

·         7/3: Kallisto/Ganymedes, 8/5: Toro/Země,   14/9: Oberon/Titania, …

Existenci jednoduchých poměrů ve Sluneční soustavě analyzoval A.M.Molčanov (r.1968) použitím statistické analýzy. S.F.Dermott (r.1969) se pokusil vyjádřil poměry oběžných period celými čísly. Podle Molčanova se libovolný nelineárně kmitající systém se dostane do synchronizovaného režimu pohybů (v důsledku evoluce) i při působení velmi slabých vazeb.

Rezonance s oběžnou periodou

V některých případech je pohyb jednoho tělesa tak výrazný, že zcela ovládá pohyb jiného tělesa Například Jupiter ovlivňuje pohyb tisíců planetek a komet.

Nechť P,Q jsou siderické periody dvou těles. Rozlišujeme 2 případy:

A/

Odtud P/Q = (r+1)/r.  Např. pro  P=J a Q=A, kde J je perioda Jupitera a A perioda asteroidu, viz dále v kapitole Působení Jupitera.

Pro celočíselné r neexistují stabilní kruhové dráhy (H.Scholl). Eliptické dráhy mohou být stabilní i nestabilní (J.D.Hadjidemetriou).

B/

Odtud P/Q = r+1.

Stáčení rezonanční přímky

Celočíselné poměry se v poměru period (těles Sluneční soustavy) zpravidla nerealizují přesně, cykly jsou obvykle modulovány jinými cykly. Tento složitější případ bývá zahrnován pod pojmem sekulární rezonance.

V případě pohybu 2 oběžnic okolo centra bývají rozlišovány dva typy rezonancí:

Má-li jedno z těles výraznější excentricitu, nastává tzv.rezonance excentricity (např. v párech Enceladus-Dione, Titan-Hyperion, asteroid Hilda-Jupiter)

má-li výraznější sklon objevuje se tzv.rezonance sklonu (např. Mimas-Tethys).

Oba typy (včetně jejich možné kombinace) se zdají být jen různým projevem téhož principu: konjunkce těles nastávají vždy poblíž bodu, kdy jsou příslušné oběžné dráhy nejvzdálenější.

Rezonance excentricity

Rozumí se excentricity dráhy, nazývaná též rezonance typu e:

 
Symboly P,Q značí siderické periody, P_a je perioda anomalistická, (P,P_a) perioda stáčení přímky apsid.

Perioda nerovnosti I je shodná s periodou stáčení eliptické dráhy (přímky apsid) jednoho (zpravidla menšího) tělesa.

Konjunkce nastávají v místech největší možné vzdálenosti těles.

1/ poblíž pericentra vnitřního tělesa:

·         Enceladus - Dione (1:2)
(1.370218 dní/1, 2.736915 dní/2) = -1065.087 dní).

·         asteroidy skupiny Hildy - Jupiter (2:3)

2/ poblíž apocentra vnějšího tělesa:

·         Titan - Hyperion (3:4)

·         Neptun - Pluto (2:3)

(Během 64 dní oběhne Titan 4x a Hyperion 3x, jejich konjunkční přímka se stáčí s periodou cca 18 let.)

Rezonance sklonu

Rozumí se sklonu dráhy, nazývaná též rezonance typu i:

 
Symboly P,Q značí siderické periody, P_n,Q_n periody drakonické. (P,P_n) a (Q,Q_n) jsou periody stáčení uzlových přímek, [(P,P_n),(Q,Q_n)] perioda pohybu jejich osy.

Perioda nerovnosti I je shodná s osovou periodou uzlových přímek.

Tělesa se potkávají co nejdále od průsečnice rovin svých drah.

·         Mimas - Tethys (1:2): Obě tělesa se pohybují po drahách skloněných více než 1° s malou excentricitou (Tethys prakticky po kružnici).
(0.9424218 dní, 1.887802 dní/2)= -[-0.98468,-4.9841] let = 1.645 let

·         Jupiter - asteroid Tule (4:3). Velký sklon drah asteroidů.

Laplaceova rezonance

V případě 3 oběžnic je nejvýraznějším projevem tzv. Laplaceova rezonance (Io-Europa-Ganymed, Miranda-Ariel-Umbriel). V tomto případě nedochází nikdy ke konjunkci všech tří těles zároveň. (Obdobnou souvztažností se zdá být vázána i rotace Venuše k oběžným dobám Venuše a Země.)

Laplaceova rezonance

Nechť P,Q,R jsou siderické periody tří těles a p,q,r celá čísla.

Tzv. synchronizační (Laplaceova) resonance je určena vztahem:

Rezonance narušuje pravidelný pohyb měsíců. Silné ovlivňování měsíců působí obtíže ve výpočtech (Wargentin, Lagrange,Laplace, Souillart).

Zvláštní případ: r=1, p=q-1.  Tj. 1/R-q/Q+(q-1)/P = 0 a odtud (R,Q/(q-1)) = (Q,P/(q-1)) a  (Q,P) = q∙(R,P)  kde q>1.

Ø  Při q=1 jde o triviální rezonanci 2 těles.

Ø  Pro q=3 rezonance měsíců Io,Europa a Ganymed

Perioda nerovnosti I dvou těles je celočíselným dělitelem orbitální periody třetího tělesa.

Tělesa se vyhýbají vzájemně, např:

·         Io-Europa-Ganymed (q=3)                             1/I-3/E+2/G=0

·         Miranda-Ariel-Umbriel (q=3)                          1/M-3/A+2/U=0

·         Rotace Venuše-Venuše-Země (q=5)              1/Vr-5/V+4/E=0

(Zvláštní případ - jedna perioda je rotační.)

Jiné rezonance

Rezonance Uranových měsíců

V soustavě měsíců Uranu (Miranda - Ariel -Umbriel - Titania) se objevuje dvakrát obdobný vztah (nestabilní rezonance):

1/ pro Mirandu,Ariel a Titanii (M/4,-A/8,T/3)  2/ pro Ariel, Umbriel a Titanii (A/4,-U/8,T/3).

Obdobný  vztah platí také pro Zemi, Mars a Jupiter (E/4,-R/8,J/3) ≈ 1782 let.

 Mocninná rezonance

1/f(A,B) = 1/f(A) - 1/f(B)

P' = f(P) = sqrt(p)

Planetární interakce